Soal Olimpiade Matematika 4

soal 1
Buktikan bahwa jika p dan p + 2 keduanya bilangan prima lebih besar dari 3, maka 6 merupakan faktor dari p + 1.
(Sumber : Canadian Mathematical Olympiad 1973)

Solusi :
Karena merupakan tiga bilangan bulat berurutan maka salah satu dari p, p + 1 dan p + 2 pasti ada yang habis dibagi 3. Karena semuanya lebih dari 3 dan p serta p + 2 adalah bilangan prima maka dapat dipastikan p + 1 merupakan bilangan kelipatan 3. Karena merupakan dua bilangan bulat berurutan maka salah satu dari p + 1 dan p + 2 pasti habis dibagi 2. Karena p + 2 bilangan prima maka p + 1 habis dibagi 2. Karena p + 1 habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3 serta 2 dan 3 relatif prima maka p + 1 akan habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6. Terbukti bahwa 6 adalah faktor dari p + 1.

soal 2
Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.
(Sumber : Canadian Mathematical Olympiad 1980)

Solusi :
72 = 9 ⋅ 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679 habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2. Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bilangan tersebut adalah 36792.

Soal Olimpiade Matematika 3

Diketahui bahwa masing-masing n orang mengetahui tepat 1 buah informasi yang saling berbeda. Jika salah seorang katakan A menelepon B maka A akan memberitahukan semua informasi yang dimilikinya kepada B sedangkan B tidak memberitahukan satu pun informasi yang diketahuinya kepada A. Berapakah panggilan telepon minimum yang diperlukan sehingga setiap orang tersebut akan mengetahui n informasi tersebut ? Buktikan bahwa jawaban tersebut adalah yang paling minimum.
(Sumber : Canadian Mathematical Olympiad 1971)

Solusi :
Orang ke-k akan menerima telepon setelah sedikitnya terjadi k − 2 telepon. Maka orang terakhir akan menerima panggilan yang pertama sedikitnya setelah terjadi n − 2 telepon. Setelah orang ke-n menerima telepon berarti sedikitnya telah terjadi n − 1 telepon. Semua informasi yang didapat oleh orang ke-n akan disebar kepada seluruh orang selain dirinya. Sedikitnya dibutuhkan n − 1 telepon. Maka panggilan telepon minimum yang diperlukan sehingga setiap orang akan mengetahui n informasi adalah 2(n − 2)

Soal Olimpiade Matematika 2

Selesaikan persamaan simultan : ab + c + d = 3, bc + a + d = 5, cd + a + b = 2, da + b + c = 6 dengan a, b , c dan d adalah bilangan real.
(Sumber : British Mathematical Olympiad 2003/2004 Round 1)

Solusi :
ab + c + d = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
bc + a + d = 5 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
cd + a + b = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)
da + b + c = 6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)
(1) + (2) = (3) + (4) -> ab + c + d + bc + a + d = cd + a + b + da + b + c b(a + c) + 2d = d(a + c) + 2b (b − d)(a + c) = 2(b − d) (b − d)(a + c − 2) = 0 b = d atau a + c = 2
• Jika b = d , Persamaan (2) -> bc + a + b = 5, Persamaan (3) -> bc + a + b = 2
Kontradiksi maka tidak ada nilai a, b, c dan d yang memenuhi.
• Jika a + c = 2, (1) + (2) -> ab + bc + a + c + 2d = 8 b(a + c) + a + c + 2d = 8 b + d = 3
(2) + (3) -> bc + cd + 2a + b + d = 7 c(b + d) + 2a + b + d = 7 3c + 2a = 4 3c + 2(2 − c) = 4
-> c = 0 -> a = 2
Persamaan (2) -> b(0) + (2) + d = 5 -> d = 3 -> b = 3 − (3) = 0
(a, b, c, d) yang memenuhi adalah (2, 0, 0, 3)

Soal Olimpiade Matematika 1

N adalah bilangan asli 4 angka yang tidak berakhiran dengan angka 0 dan R(N) menyatakan bilangan 4 angka dengan me-revers digit-digit N. (Dalam kasus ini revers artinya angka pertama N menjadi angka ke-4, angka ke-2 menjadi angka ke-3, angka ke-3 menjadi angka ke-4 dan angka ke-4 menjadi angka pertama). Sebagai contoh adalah R(3275) = 5723. Tentukan semua bilangan asli N yang memenuhi R(N) = 4N + 3.
(Sumber : British Mathematical Olympiad 1997 Round 1)

Solusi :
Misalkan N = 1000a + 100b + 10c + d maka R(N) = 1000d + 100c + 10b + a 4N N a = 1 atau 2 • Jika a = 2 Karena angka satuan R(N) = 2 maka angka satuan 4N = 9 (4N adalah bilangan ganjil) Padahal 4N adalah bilangan genap (kontradiksi) • Jika a = 1 Maka d = 4, 5, 6 atau 7. Karena angka satuan R(N) = 1 maka angka satuan 4N = 8. Nilai d yang memenuhi hanya d = 7 -> N adalah bilangan ganjil. 7000 + 100c + 10b + 1 = 4000 + 400b + 40c + 28 + 3 2970 = 300b + 30c 99 = 10b + c Hanya dipenuhi jika b = 9 dan c = 9 N yang memenuhi hanya N = 1997.